052-2933025

מתמטיקה - זה מעניין מישהו בכלל?

 

הייתי בכיתה ד', אם אינני טועה, כשהתחלנו ללמוד לחשב ממוצע. הייתי טוב בחשבון, אבל חישוב ממוצע נראה לי בלתי מובן לחלוטין. המורה אמרה לי שוב ושוב: "פועל א' קטף שישה תפוזים, ופועל ב' קטף עשרה תפוזים. אז עושים עשר ועוד שש ומחלקים בשתיים כי מספר הפועלים זה שתיים, או שניים, ויוצא שמונה. אז כל פועל קטף בממוצע שמונה תפוזים. מבין?"

 

"לא."

 

אחרי עוד כמה הסברים, למעשה אחרי כמה פעמים של אותו הסבר, בליווי ציורים ו"אמצעי המחשה" שונים ומשונים, המורה כבר התעצבנה: "מה יש פה לא להבין?? מחברים את כל התפוזים שזה שש ועוד עשר ומחלקים במספר הפועלים שזה שתיים או שניים ויוצא שמונה! יותר פשוט מזה אין! הבנת?"

 

"לא. כאילו... איך זה שכּל אחד קטף שמונה?"

 

"שש ו-עוד ע-שר חל-קי שת-יים..."

 

"כן, שווה שמונה," אמרתי, "אבל איך זה יכול להיות?"

 

בסופו של דבר נמאס לה, והיא עברה למשהו או למישהו אחר. ואני נשארתי עם התעלומה: איך זה יכול להיות שפועל אחד קטף קצת תפוזים, והפועל השני קטף הרבה תפוזים, ובסוף יוצא ששניהם קטפו אותו דבר?? איפה הפרדס הזה, באזור הדמדומים? יש כאלה שעל מנת לפתור תרגיל מספיק להם לדעת את החישוב בלי להטריח את עצמם בשאלה מה זה צריך להיות, אבל אני לא הגעתי ליכולת הזאת. אני זוכר שניסיתי להבין איך יכולות להתקיים כל המשפחות המטורפות האלה עם 2.67 ילדיהן המוזרים. וזכור לי גם שהרהרתי פעם האם כל העניין הזה עם הממוצע באמת עובד, כי אם כן, זה באמת מידע חשוב לחיים: תמיד עדיף לעבוד פחות, שהרי במילא בסוף זה יוצא אותו הדבר.

 

עד שפעם מישהו נתן לי הסבר ממצה ופתר לי את העניין אחת ולתמיד: "ממוצע - זה סתם!"

 

אההההה, זהו!! זה לא באמת שכּל אחד קטף אותו דבר, במציאות יש תוצאות שונות ומספרים שונים, ומי שקטף יותר תפוזים – אז באמת יהיו לו יותר תפוזים מאשר לזה שקטף פחות. הממוצע זה חישוב שמבטא משהו לא מציאותי, משהו שהוא לא באמת. מה זה המשהו הזה? אני מודה שכבר לא היה אכפת לי.

 

כשהתחלתי בעצמי ללמד מתמטיקה, ולשם כך חקרתי את המשמעויות של כל דבר, הגעתי לניסוח מדויק יותר של ממוצע: אִלּוּ היינו לוקחים את כל התפוזים שכל פועל קטף, ומחלקים אותם בין כל הפועלים שווה בשווה, אז המספר שהיה יוצא – זה הממוצע. ומכיוון שזה רק "אִלּוּ", ולא היינו עושים זאת באמת, אז זה בסדר שהממוצע ייצא משהו לא מציאותי, למשל שבכל משפחה יש בממוצע שתיים-נקודה-משהו ילדים. ובשביל מה צריך את זה בכלל? את זה אני מברר ביחד עם התלמידים. ותאמינו או לא, זה דיון שמעורר הרבה התלהבות, דעות לכאן ולכאן, וזה יכול להגיע לפסים שכּלל אינם מתמטיים, אלא ערכיים וחברתיים.

 

לא רק ממוצעים, גם תחומים אחרים במתמטיקה הם בלתי מציאותיים במהותם, וההבנה שזה כך, יש והיא-היא המפתח להבנה מלאה של התחום כולו. למשל – מספרים  שליליים. וכבר פגשתי כמה תלמידים, שלא הצליחו להבין איך זה יכול להיות. אתם צודקים, אמרתי להם. איך בכלל יכול להיות דבר כזה כמו "מינוס שלוש"? מי שחושב שיש כזה דבר – שמחר בבוקר יביא לכיתה מינוס שלוש עגבניות.

 

"אבל יש מינוס!" אמרה לי תלמידה אחת, "מפלס הכינרת הוא מינוס מאתיים, לא?"

 

כן, אבל... זה לא אומר שיש מינוס-מאתיים ליטר מים... זה אומר שיש במאתיים ליטר פחות מ... פחות ממה שקבענו כנקודת האפס. ה"מינוס" מסמן את היחס בין מה שיש לבין מה שאנו קבענו כנקודת האפס, כנקודת ההתחלה. ואם נרצה לדעת מהי הכמות האמיתית של המים בכינרת, נצטרך לספור את הליטרים שיש, בלי להתחשב בכמה היינו רוצים שיהיו... ואז, כשזה מציאותי-אובייקטיבי לחלוטין, אין שום מינוס.

 

ומה עם מינוס בבנק? מה, אין דבר כזה? למעשה, אין. אבל גם אין סיבה לשמוח... כלומר, אם אנחנו במה שקוראים "מינוס", ונרצה לספור את הכסף שיש לנו, אז... יֵצא לנו אפס מאופס... ה"מינוס" זה לא כסף שיש לנו, אלא – טוב, האמת שאני לא בדיוק יודע, אבל נדמה לי שאפשר לומר זאת כך: "אנחנו חייבים לבנק כך וכך ש"ח." והַ"כך וכך" הזה הוא, מה לעשות, מספר אמיתי בהחלט. וגם זה משהו שאפשר לשוחח אתו עם התלמידים. וכמובן, אפשר לשאול – זה מעניין אותם בכלל??

 

ובכן, מהניסיון שלי – בהחלט כן. קודם כל – כסף, נרצה או לא, זה מעניין. ואם נחזור למתמטיקה ולמושג המינוס בכללותו, אז... המצאנו דברים שאינם באמת קיימים, על מנת שנוכל להבין ולתאר את העולם ואת ההתרחשויות שמתקיימות בו. לי, ולחלק ניכר מתלמידיי, זה נראה יופי של נושא לשיחה.

 

*********************************************************

 

אחד המשפטים שאני רגיל לשמוע ממורים, הוא "הילד הזה – צריך להראות לו בדיוק-בדיוק מה עושים, בלי כל הקשקושים שמסביב, אחרת סתם תבלבל אותו." או: "הכי חשוב ללמד אותו פטנטים." אני שומע דברים ברוח זו גם מהתלמידים עצמם: "אני – תסביר לי בדיוק-בדיוק מה שעושים, כמו למפגר." וילדה אחת בת 16 אמרה לי פעם: "אל תסביר. תלמד." וזאת לא רק במתמטיקה – גם בהיסטוריה, בספרות, בכל דבר. התהליך הלימודי-רגשי שאני עובר עם התלמיד הוא, כמובן, מנוגד תכלית הניגוד לכך. איך בפועל אני עושה את זה ואיך כל מורה יכול לעשות את זה – על כך ברשומות הבאות.

חדש באתר
להיות לקות מרחב - ליאור דגן ב"הכול צפוי" עם אבי שמאי

הראיון בדקות 29:43-41:13. הסבר ברור, ממצה ומרתק. 

http://www.iba.org.il/program.aspx?scode=2070480

 

 

אתם מוזמנים להצטרף לרשימת התפוצה שלי

אני מזמין את כל באי האתר להצטרף לרשימת התפוצה שלי, ולקבל באופן קבוע בדואר האלקטרוני מסרים ממוקדים בכל הקשור ב: לקויי למידה, בניית ביטחון עצמי, דרכי הוראה ועוד. בחלק מהמסרים משולבים קטעים מתוך הרצאות והופעות שהעליתי. .

זמן להתחיל לחיות

זמן להתחיל לחיות - ספרו של ליאור דגן, חמישה שערים לעולמו של אדם החווה עצמו כשונה. לרכישת הספר נא להשאיר פרטים ב"צור קשר".

לפרטים לחצו כאן
שלח לי דואר