מתמטיקה: אלגברה – יותר ממיליון תרגילים בפחות מדקה??

אשאל אתכם חידה – ומי שיצליח לפתור אותה, יוכל להבין את הבסיס של האלגברה.

רגע, רקע:

פעם באו אליי אמא ובן – ילד בכיתה ז', ובשיחה המקדימה האמא הזהירה אותי: "תראה, כבר היו לו המון מורים…". היא פנתה אליי בתור "מוצא אחרון, אולי איכשהו, אבל שיהיה לך ברור שהוא לא ימשיך, ובטח ייצא לך מהחדר אחרי חמש דקות, ואולי גם יגיד לך כל מיני דברים, אז פשוט אל תיקח ללב. הוא שונא ללמוד ואין מה לעשות."

אך עם כל היותה מיואשת, היא לא הצליחה להסתיר נימה של גאווה כשאמרה לי: "אף מורה פרטי לא יכול עליו!"

אמרתי לה שאשמח לעבוד אתו, והם הגיעו. הילד נכנס לשיעור עם המבט-של-שנאה הזה שאני מכיר היטב, נראה כאילו שהוא תכף עולה לאיזה גרדום…

עד כאן הרקע.

החידה:

בסוף השיעור, הזמנתי את האֵם להיכנס, והיא שאלה אותי: "נו, הוא למד משהו?"

והילד מיד פנה אליה ואמר בהתלהבות: "כן, בטח! בפחות מדקה מצאתי פתרון ליותר ממיליון תרגילים!"

היא אמרה: "כן, בטח… בפחות מדקה פתרת יותר ממיליון תרגילים…"

ואני אמרתי: "כן. בטח. בפחות מדקה הוא מצא את הפתרון להרבה יותר ממיליון תרגילים."

איך זה יכול להיות?

התשובה – מתחת לתמונה.

זהו אבו עבדאללה מוחמד אבּן מוסא אל ח'אוואריזמי, הנחשב לממציא האלגברה. מקור התמונה: האתר (המומלץ!!) "עולם מדע טכנולוגיה ורפואה".

בבקשה, פתרון החידה:

כתבתי קודם שהילד היה בכיתה ז'. ומה לומדים בכיתה ז'? את הבסיס של האלגברה. ועכשיו נראה מה ההבדל בין אלגברה לחשבון ומהו כוחה של נוסחה, וזהו המפתח לפתרון.

כשאני פותר תרגיל בחשבון, אני מקבל תוצאה אחת. למשל: יש לי שלוש קופסאות, ובכל אחת מהן עשר עוגיות. אז כמה עוגיות יש לי? עושים תרגיל: שלוש כפול עשר, ומקבלים 30. בחשבון מקבלים תוצאה אחת בלבד. ואם יש לי תשע עוגיות בכל קופסה? אז אני צריך לעשות תרגיל חדש: שלוש כפול תשע שווה 27. ואם יש 15 עוגיות בקופסה? שוב – תרגיל חדש. ומה אם יש לי 10 קופסאות? שוב – תרגיל חדש לגמרי…

לעומת זאת, באלגברה, אני בונה תבנית – אני בונה נוסחה.

בואו ניקח את השאלה הזאת:

נניח שבכל קופסה יש אותו מספר עוגיות.

אז כמה עוגיות יש לי?

נכון:

מספר הקופסאות כפול מספר העוגיות.

וזה מתאים לכל מספר של קופסאות ולכל מספר של עוגיות. גם אם יש לי שתי קופסאות ובכל אחת שתי עוגיות, וגם אם יש לי מאה קופסאות ובכל אחת עשרת אלפים עוגיות, וגם אם יש לי שלושת אלפים שבע מאות חמישים ושלוש קופסאות ובכל אחת מהן יש חצי עוגיה. זה הפתרון ל… מיליון תרגילים? מיליון תרגילים זה עוד כלום! זה הפתרון לאין-סוף תרגילים!

ואם נסמן את מספר הקופסאות ב-x ואת מספר העוגיות ב-y, נוכל לומר שהביטוי x כפול y (באלגבּרית: xy) מספק תשובה לאין ספור תרגילים.

ולכן לא אמרתי שהילד "פתר יותר ממיליון תרגילים" אלא שהוא "מצא את הפתרון ליותר ממיליון תרגילים".

אז אם ככה – איך זה שכל כך הרבה ילדים נכנסים ממש להלם בכיתה ז' במפגש עם החוקיות והתבניות והאלגברה? איך זה שכל כך הרבה ילדים לא מבינים מה זה איקס, איך זה שאותיות תמימות באנגלית מעוררות בילדים כל כך הרבה כעס ותסכול ותחושה שכל מה שמלמדים אותם זה סתם?

כדי להבין את זה, חייבים לחשוב מחוץ לקופסא.